设f（x）=x2+bx+c（b、c为常数），方程f（x）=x的两个实数根为x1、x2，且满足x1＞0，x2-x1＞1．（Ⅰ）求证：b2＞2（b+2c）；（Ⅱ）设0＜t＜x1，比较f（t）与x1的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=x2+bx+c（b、c为常数），方程f（x）=x的两个实数根为x1、x2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-07 07:30:00

试题原文

设f（x）=x²+bx+c（b、c为常数），方程f（x）=x的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（Ⅰ）求证：b²＞2（b+2c）；
（Ⅱ）设0＜t＜x₁，比较f（t）与x₁的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：不等式的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（x）=x，得x²+（b-1）x+c=0．
∴x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c．（2分）
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（1-b）²-4c=b²-2b+1-4c．
∵x₂-x₁＞1，
∴（x₂-x₁）²＞1．
∴b²-2b+1-4c＞1，即b²＞2（b+2c）．（6分）

（Ⅱ）g（t）=f（t）-x₁=t²+bt+c-（x₁²+bx₁+c）
=（t+x₁）（t-x₁）+b（t-x₁）=（t-x₁）（t+x₁+b）
=（t-x₁）（t+1-x₂）．（10分）
由0＜t＜x₁，知t-x₁＜0．
又∵x₂-x₁＞1，
∴1+x₁-x₂＜0，1+t-x₂＜1+x₁-x₂＜0．
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＞0．
∴f（t）＞x₁．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=x2+bx+c（b、c为常数），方程f（x）=x的两个实数根为x1、x2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中不等式的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中不等式的定义及性质”。

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