如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q。（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-31 07:30:00

试题原文

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q。

（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围。

试题来源：湖南省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：相似三角形的性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）存在点P。假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图所示，设AP的长为x，则BP=10-x，在Rt△APD中，DP²=AD²+AP²，即DP²=4²+x²，在Rt△PBC中，PC²=BC²+PB²，即DP²=4²+（10-x）²，在Rt△PCD中，CD²=DP²+PC²，即10²=4²+x²+4²+（10-x）²，解得x=2或8，故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；
（2）连接AC，设BP=x，则AP=m-x， ∵PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC ∴，即①， ∵DP⊥PQ， ∴∠APD+∠BPQ=90°， ∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°， ∴∠APD=∠BQP， ∴△APD∽△BQP， ∴，即②， ①②联立得，BQ=；
（3）连接DQ，设AP=x，由（1）知在Rt△APD中，DP²=AD²+AP²，即DP²=4²+x²，在Rt△PBC中，PC²=BC²+PB²，即DP²=4²+（m-x）²。若△PQD为等腰三角形，则4²+x²=4²+（m-x）²，解得， ∵BQ=， ∴CQ=4-， ∴S_{四边形DPQC}=S_△DPQ+S_△DCQ=。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任..”的主要目的是检查您对于考点“初中相似三角形的性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中相似三角形的性质”。

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