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1、试题题目：已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足：PA与PB的斜率之积为3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足：PA与PB的斜率之积为3．设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）记点F（﹣2，0），曲线E上的任意一点C（x1，y1）满足：x1＜﹣1，x1≠﹣2且y1＞0．
①求证：∠CFB=2∠CBF；
②设过点C的直线x=my+b与轨迹E相交于另一点D（x2，y2）（x2＜﹣1，y2＜0），若∠FCB与∠FDB互补，证明代数式3m2﹣4b的值为定值，并求出此定值．

  试题来源：期末题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：直线与双曲线的应用



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），
∴ ， ，
∵PA与PB的斜率之积为3，
∴ ，x≠±1，
∴ ．
（2）①设∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角， 
则tanα= ，tanβ= ， ，
∴tan2β= = = =tanα．
②由题意C（x1，y1），y1＞0，D（x2，y2），y2＜0，
联立 ，得（3m2﹣1）y2+6mby+3b2﹣3=0，
则△=12（b2+3m2﹣1）＞0， ， ，
∵k= ，∴ ，∴3m2﹣1＜0，
故 ，
设∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵ ，tan ， ，
∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），
∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，
由到角公式，得 = ， ∴ = ，
即 ，
∴3m2﹣1=4b+4，
∴3m2﹣4b=5（定值）．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足：PA与PB的斜率之积为3..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。


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