已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P，（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆

的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆于B、D两点，过F₂的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P，
（Ⅰ）设P点的坐标为（x₀，y₀），证明：

；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。

试题来源：高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）椭圆的半焦距

，
由AC⊥BD知点P在以线段

为直径的圆上，故

，
所以，

；
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程

，并化简得

，
设

，
则

，

；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为

，
所以，

，
四边形ABCD的面积

，
当

时，上式取等号；
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4；
综上，四边形ABCD的面积的最小值为

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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