已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是π2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若f（x）-a2＞2a在x∈[0，π8]上恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若f（x）-a²＞2a在x∈[0，

π

8

]上恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：已知三角函数值求角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1

=2?

1+cos2ωx

2

+sin2ωx+1

=sin2ωx+cos2ωx+2

=

2

(sin2ωxcos

π

4

+cos2ωxsin

π

4

)+2

=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2

由函数f（x）的最小正周期是

π

2

，可得

2π

2ω

=

π

2

，所以ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2．
当

π

2

+2kπ≤4x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，即

π

16

+

kπ

2

≤x≤

5π

16

+

kπ

2

(k∈Z)时，
函数f（x）的单调递减区间为：[

π

16

+

kπ

2

，

5π

16

+

kπ

2

](k∈Z)；
（Ⅲ）∵f（x）-a²＞2a，
∴a²+2a＜f（x），
∵x∈[0，

π

8

]，即4x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

≤sin≤1，
∴f（x）有最小值为3，
由a²+2a＜f（x）恒成立，得a²+2a＜3，
∴-3＜a＜1
实数a的取值范围是（-3，1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。

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