已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右焦点F2与抛物线y2=43x的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的中心-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右焦点F₂与抛物线y2=4

3

x的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心作一条直线与其相交于P，Q两点，当四边形PF₁QF₂面积最大时，求

PF1

?

PF2

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题，抛物线的焦点坐标为(

3

，0)，故c=

3

…（2分）
又因为短轴的两个端点与F₂构成正三角形，所以a=2b，又a²=b²+c²得a=2，b=1
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1…（7分）
（2）设P点坐标为（x₀，y₀），由椭圆的对称性知，S四边形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×

1

2

×F1F2×|yP|
当四边形PF₁QF₂面积最大时，P，Q两点分别位于短轴两个端点，
由对称性不妨设P（0，1）…（10分）
又F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)则

PF1

=(-

3

，-1)，

PF2

=(

3

，-1)
所以

PF1

?

PF2

=(-

3

，-1)?(

3

，-1)=-3+1=-2…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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