设双曲线C1的渐近线为y=±3x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于22，并且曲线C3：x2=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C2上．（1）求满足条件-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线C1的渐近线为y=±3x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C2上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设双曲线C₁的渐近线为y=±

3

x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于2

2

，并且曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上．
（1）求满足条件的曲线C₂和曲线C₃的方程；
（2）过点F的直线l交曲线C₃于点A、B（A在y轴左侧），若

AF

=

1

3

FB

，求直线l的倾斜角．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）双曲线C₁满足：

b1

a1

=

3

2a1=1

…（1分），解得

a1=

1

2

b1=

3

2

…（2分）
则c1=

a

21

+

b

21

=1，于是曲线C₁的焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0）…（3分），
曲线C₂是以F₁、F₂为焦点的椭圆，设其方程为

x2

a

22

+

y2

b

22

=1(a2＞b2＞0)…（4分），
解

2a2=2

2

a

22

-

b

22

=1

得

a2=

2

b2=1

，即C₂：

x2

2

+y2=1…（5分），
依题意，曲线C3：x2=2py(p＞0)的焦点为F（0，1）…（6分），
于是

p

2

=1，所以p=2，曲线C3：x2=4y…（7分）
（2）由条件可设直线l的方程为y=kx+1（k＞0）…（8分），
由

x2=4y

y=kx+1

得x²-4kx-4=0，△=16（k²+1）＞0，
由求根公式得：x1=2k-2

k2+1

，x2=2k+2

k2+1

…（9分），
由

AF

=

1

3

FB

得-3x₁=x₂…（10分），于是-3(2k-2

k2+1

)=2k+2

k2+1

，解得k2=

1

3

…（11分），
由图知k＞0，∴k=

3

，
∴直线l的倾斜角为

π

6

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线C1的渐近线为y=±3x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C2上..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：