在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=(1，0)，OT=(-1，t)，FM=MT，PM⊥FT，PT∥OF．（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=(1，0)，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

PM

⊥

FT

，

PT

∥

OF

．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），
由

FM

=

MT

，得点M是线段FT的中点，则M(0，

t

2

)，

PM

=(-x，

t

2

-y)，
又

FT

=

OT

-

OF

=(-2，t)，

PT

=(-1-x，t-y)，
由

PM

⊥

FT

，得2x+t(

t

2

-y)=0，①
由

PT

∥

OF

，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，∴t=y②
由①②消去t，得y²=4x即为所求点P的轨迹C的方程
（Ⅱ）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k₁，k，k₂，并记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k=-

t

2

设直线AB方程为x=my+1

y2=4x

x=my+1

，得y²-4my-4=0，∴

y1+y2=4m

y1?y2=-4

，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=16m²+8，
∴k1+k2=

y1-t

x1+1

+

y2-t

x2+1

=

(y1-t)(

y

22

4

+1)+(y2-t)(

y

21

4

+1)

(

y

21

4

+1)(

y

22

4

+1)

=

4y1y2(y1+y2)-4t(

y

21

+

y

22

)+16(y1+y2)-32t

y

21

y

22

+4(

y

21

+

y

22

)+16

=-t=2k
∴k₁，k，k₂成等差数列

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=(1，0)，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：