如图，曲线C1：x2a2+y2b2=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的交点分别为A，B，曲线C1与抛物线C2在点A处的切线分别为l1和l2，且斜率分别为k1和k2．（I）k1?k2是否与p无关？若是-数学试题及答案

1、试题题目：如图，曲线C1：x2a2+y2b2=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线C2：x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

如图，曲线C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A，B，曲线C₁与抛物线C₂在点A处的切线分别为l₁和l₂，且斜率分别为k₁和k₂．
（I）k₁?k₂是否与p无关？若是，给出证明；若否，给以说明；
（Ⅱ）若l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线C₁与抛物线C₂的方程．

试题来源：枣庄一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设A(x0，y0)，由

x2

a2

+

y2

b2

=1(b＞a＞0，y≥0)
得y=

b

a

a2-x2

，y′=-

bx

a

a2-x2

，
则k1=y′|x=x0=-

bx0

a

a2-

x

20

…（2分）
由x2=2py(p＞0)得y=

x2

2p

，则k2=y′|x=x0=

x0

p

，
所以k1k2=-

bx0

a

a2-

x

20

?

x0

p

=-

b

x

20

pa

a2-

x

20

，（※） …（4分）
又因为

x

20

=2py0，y0=

b

a

a2-

x

20

，
则

x

20

2p

=

b

a2-

x

20

a

，即

x

20

a2-

x

20

=

2pb

a

．
代入（※）式得k1k2=-

b

x

20

pa

a2-

x

20

=-

b

pa

?

2pb

a

=-2(

b

a

)2．
可见，k₁?k₂仅与a，b有关，与p无关． …（6分）
（II）如图，设A(x0，

x

20

2p

)，则x0∈(-a，0)
由（I）知k2=

x0

p

，则l2：y=

x0

p

(x-x0)+

x

20

2p

．…（7分）
又l2过点D(0，-2)，则

x

20

=4p，即x0=-2

p

，
所以A(-2

p

，2)…（8分）
将点A的坐标代入曲线C₁的方程得

4p

a2

+

4

b2

=1．
则a2+b2=(a2+b2)(

4p

a2

+

4

b2

)=4p+4+

4a2

b2

+

4pb2

a2

≥4p+4+8

p

，…（10分）
当且仅当“=”成立时，有

4p

a2

+

4

b2

=1

4a2

b2

=

4pb2

a2

4p+4+8

p

=9.

…（11分）
解得

p=

1

4

a2=3

b2=6.

所以C1：

x2

3

+

y2

6

=1(y≥0)，C2：x2=

y

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，曲线C1：x2a2+y2b2=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线C2：x..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：