已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x2=4y相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，l1、l2分别是抛物线x2=4y在A、B两点处的切线，M、N分别是l1、l2与直线y=-1的交点．（1）求直线l的斜率的-数学试题及答案

1、试题题目：已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x2=4y相交于A（x1，y1）、B（x2，y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x²=4y相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，l₁、l₂分别是抛物线x²=4y在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与直线y=-1的交点．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）试比较|PM|与|PN|的大小，并说明理由．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1．
由方程

y=kx-1

x2=4y.

，消去y得x²-4kx+4=0． ①
∵直线l与抛物线x²=4y相交于A，B两点，
∴△=16k²-16＞0，解得k＞1或k＜-1．
故直线l斜率的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）可以断定|PM|=|PN|．
解法1：∵x₁，x₂是方程①的两实根，
∴

x1+x2=4k

x1x2=4.

，∴x₁≠0，x₂≠0．
∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x．
∵y1=

1

4

x

21

，∴切线l₁的方程为y=

1

2

x1(x-x1)+

1

4

x12．
令y=-1，得点M的坐标为(

x12-4

2x1

，-1)．
∴|PM|=|

x12-4

2x1

|．
同理，可得|PN|=|

x22-4

2x2

|．
∵

|PM|

|PN|

=|

x12-4

2x1

?

2x2

x22-4

|=|

x12x2-4x2

x1x22-4x1

|=|

4x1-4x2

4x2-4x1

|=1（x₁≠x₂）．
故|PM|=|PN|．
解法2：∵x₁，x₂是方程①的两实根，
∴

x1+x2=4k

x1x2=4.

，∴x₁≠0，x₂≠0．
∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x．
∵y1=

1

4

x

21

，
∴切线l₁的方程为y=

1

2

x1(x-x1)+

1

4

x12．
令y=-1，得点M的坐标为(

x12-4

2x1

，-1)．
同理可得点N的坐标为(

x22-4

2x2

，-1)．
∵

x12-4

2x1

+

x22-4

2x2

=

(x1+x2)(x1x2-4)

2x1x2

=0．
∴点P是线段MN的中点．
故|PM|=|PN|．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x2=4y相交于A（x1，y1）、B（x2，y..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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