设抛物线C：x2=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．（1）求抛物线C的方程；（2）已知t是一个负实数，P是直线y=t上一点，过P作直线l1与l2，-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线C：x2=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设抛物线C：x²=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知t是一个负实数，P是直线y=t上一点，过P作直线l₁与l₂，使l₁⊥l₂，若对任意的点P，总存在这样的直线l₁与l₂，使l₁，l₂与抛物线均有公共点，求t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

?

(x1+x2)2-4x1?x2

由题意知，抛物线的焦点F为（0，

p

2

），则直线AB的方程为y-

p

2

=1×(x-0)，即为y=x+

p

2

，
联立抛物线方程得到

y=x+

p

2

x2=2py(p＞0)

整理得x²-2px-p²=0（p＞0），则

x1+x2=2p

x1?x2=-p2

故|AB|=

1+k2

?

(2p)2-4?(-p2)

=

2

?2

2

p=4p=2，解得p=

1

2

故抛物线C的方程为：x²=y；
（2）由（1）知抛物线C的方程为：x²=y，如图示，设C（xC，xC2），P（0，t），
魔方格

由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x²=y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可，
将抛物线的方程改写为y=x²，求导得y ′=2x
所以过点C的切线PC的斜率是2xC=

xC2-t

xC

，即xC2=-t
由于直线PD与切线PC垂直，故直线PD的斜率为-

1

2xC

则直线PD的方程为：y-t=-

1

2xC

x，即是y=-

1

2xC

x+t
联立抛物线的方程y=x²得到x2+

1

2xC

x-t=0
由于PD与该抛物线有交点，则△=(

1

2xC

)2+4t≥0，即

1

-4t

+4t≥0（t＜0）
解得 -

1

4

≤t＜0，则t的取值范围为{t|-

1

4

≤t＜0}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线C：x2=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：