已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x2+y2=1上的两个动点，且M、N关于x轴对称，直线AM与BN交于P点．（1）求P点的轨迹C的方程；（2）设动直线l：y=k（x+32）与曲线C交于S、T两点．求证：-数学试题及答案

1、试题题目：已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x2+y2=1上的两个动点，且M、N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x²+y²=1上的两个动点，且M、N关于x轴对称，直线AM与BN交于P点．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设动直线l：y=k（x+

3

2

）与曲线C交于S、T两点．求证：无论k为何值时，以动弦ST为直径的圆总与定直线x=-

1

2

相切．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），P（x，y）（x₀≠-1且x₀≠3）
∵AM：y=

y0

x0+1

(x+1)①，BN：y=

-y0

x0-3

(x-3)②
∴联立①②，解得

x0=

x+3

x-1

y0=

2y

x-1

（4分）
∵点M（x₀，y₀）在圆⊙O上，代入圆的方程：(

x+3

x-1

)2+(

2y

x-1

)2=1
整理：y²=-2（x+1）（x＜-1）（6分）
（2）证明：由

y=k(x+

3

2

)

y2=-2(x+1)

?k2x2+(3k2+2)x+

9

4

k2+2
设S（x₁、y₁），T（x₂、y₂），ST的中点坐标（x₀、y₀）
则x₁+x₂=-（3+

2

k2

），x₁x₂=

9

4

+

2

k2

（8分）
∴x0=

x1+x2

2

=-

1

2

(3+

2

k2

)
中点到直线x=-

1

2

的距离d=-

1

2

-x0=-

1

2

+

1

2

(3+

1

k2

)=1+

1

k2

∵

1

2

|ST|=

1

2

1+k2

(3+

2

k2

)2-4(

9

4

+

2

k2

)

2

k2

=

1

2

1+k2

4k2+4

k4

=

1+k2

k2

=1+

1

k2

∴

1

2

|ST|=d
故圆与x=-

1

2

总相切．（13分）
另∵y²=-2（x+1）知焦点坐标为（-

3

2

，0）（2分）
顶点（-1，0），故准线x=-

1

2

（4分）
设S、T到准线的距离为d₁，d₂，ST的中点O'，O'到x=-

1

2

的距离为

d1+d2

2

又由抛物线定义：d₁+d₂=|ST|，∴

d1+d2

2

=

|ST|

2

故以ST为直径的圆与x=-

1

2

总相切（8分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x2+y2=1上的两个动点，且M、N..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：