过抛物线y=12x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则OA?OB=______；若该抛物线上有两点M、N，满足OM⊥ON，则直线MN必过定点_____

1、试题题目：过抛物线y=12x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

过抛物线y=

1

2

x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则

OA

?

OB

=______；若该抛物线上有两点M、N，满足OM⊥ON，则直线MN必过定点______．

试题来源：门头沟区一模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵抛物线y=

1

2

x2焦点F（0，

1

2

）
设过焦点F的直线AB的方程为y=kx+

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程

y=kx+

1

2

y=

1

2

x2

可得x²-2kx-1=0
∴x₁x₂=-1，y1y2=

1

2

x12 ?

1

2

x22=

(x1x2)2

4

=

1

4

∵

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

3

4

设直线MN的方程为y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
联立方程

y=mx+n

y=

1

2

x2

可得x²-2mx-2n=0
则c+c=2m，ac=-2n，bd=

(ac)2

4

=n²
∵OM⊥ON
∴

OM

?

ON

=ac+bd=-2n+n²=0
∵n≠0
∴n=2，，即直线MN的方程为y=mx+2，从而可得直线MN过定点（0，2）
故答案为：-

3

4

；（0，2）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过抛物线y=12x2焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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