过双曲线y23-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：OA?OB为定值．（2）若OB=AM，求动点M的轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：过双曲线y23-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

过双曲线

y2

3

-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：

OA

?

OB

为定值．（2）若

OB

=

AM

，求动点M的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解．（1）∵双曲线

y2

3

-x2=1的上支可表示为函数y=

3+3x2

，且y′=

1

2

×

6x

3+3x2

=

3x

3+3x2

设P（x₀，y₀）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y₀=

3x 0

3+3x 02

（x-x₀）
即y-y₀=

3x 0

y0

（x-x₀），即y₀y-3x₀x=3，
与渐近线方程y=

3

x联立，解得A(

3

y0-

3

x0

，

3

y0-

3

x0

)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±

3

x0≠0）；
与渐近线y=-

3

x联立，解得B(

-

3

y0+

3

x0

，

3

y0+

3

x0

)，
∴

OA

?

OB

=

-3

y

20

-3

x

20

+

9

y

20

-3

x

20

=

-3

3

+

9

3

=2（定值）
（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由

OB

=

AM

知

OM

=

OA

+

OB

，由（1）有

x=

3

y0-

3

x0

+

-

3

y0+

3

x0

y=

3

y0-

3

x0

+

3

y0+

3

x0

即

x0=

x

2

y0=

y

2

再由P（x₀，y₀）在双曲线

y2

3

-x2=1 （y＞0）上
∴

y

20

3

-

x

20

=1，
∴

y2

4

3

-

x2

4

=1
故所求轨迹为

y2

12

-

x2

4

=1(y＞0)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过双曲线y23-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：