已知函数f（x）=2x+alnx-2（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x+alnx-2（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f^′（x）=-

2

x2

+

a

x

，∴f^′（1）=-2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=

2

x

+lnx-2，∴f^′（x）=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=

2

x

+lnx+x-2-b，则g′(x)=-

2

x2

+

1

x

+1=

x2+x-2

x2

．
由g^′（x）＞0解得x＞1；由g^′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[

1

e

，e]上有两个零点，∴

g(

1

e

)≥0

g(e)≥0

g(1)＜0

，
解得1＜b≤

2

e

+e-1，∴b的取值范围是（1，

2

e

+e-1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x+alnx-2（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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