设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）内无极值点，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

x³+bx²+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）内无极值点，求a的取值范围．

试题来源：北京高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：由f(x)=

x³+bx²+cx+d得f′(x)=ax²+2bx+c，
因为f′(x)-9x=ax²+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，
所以，

，（*）
(Ⅰ)当a=3时，由(*)式得

，
解得b=-3，c=12，
又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0，
故f(x)=x³-3x²+12x．
(Ⅱ)由于a＞0，所以“f(x)=

x³+bx²+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“f'(x)=ax²+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立”，
由（*）式得2b=9-5a，c=4a，
又Δ=(2b)²-4ac=9(a-1)(a-9)，
解

得

，
即a的取值范围是[1，9]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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