已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切，且与定圆x2+（y-1）2=1内切，记点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设斜率为22的直线与曲线E相切，求此时直线到原点的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切，且与定圆x2+（y-1）2=1内切，记..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切，且与定圆x²+（y-1）²=1内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设斜率为2

2

的直线与曲线E相切，求此时直线到原点的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=-2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．
又∵原P与定圆x²+（y-1）²=1内切，
∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，
∴点P到定直线y=-1与到定点F（0，1）的距离相等，
∴点P的轨迹是抛物线x²=4y．即曲线E的方程为x²=4y．
（2）设斜率为2

2

的直线与曲线E相切于点M（x₀，y₀）．
由曲线E的方程为x²=4y，∴y′=

x

2

，∴切线的斜率为

x0

2

，
∴

x0

2

=2

2

，即x0=4

2

，∴y0=

(4

2

)2

4

=8，
∴切点为(4

2

，8)．
∴切线方程为y-8=2

2

(x-4

2

)，化为2

2

x-y-8=0．
∴原点到此切线的距离d=

|0-0-8|

(2

2

)2+(-1)2

=

8

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切，且与定圆x2+（y-1）2=1内切，记..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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