设函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可知：当a=2时，g（x）=4x²-lnx+2
则g′(x)=8x-

1

x

曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率k=g'（1）=7，又g（1）=6
曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线的方程为y-6=7（x-1）即y=7x-1
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．
即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．h′(x)=a+

1

x

-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

(x＞0)
令h'（x）=0可得：x2=-

1

2a

，x1=

1

a

（舍）
当0＜x＜-

1

2a

时，h'（x）＞0，h（x）单增；
当x＞-

1

2a

时，h'（x）＜0，h（x）单减．
所以h（x）在x=-

1

2a

处有极大值，也是最大值．∴h(x)max=h(-

1

2a

)≤0解得：a≤-

1

2

e-

3

4

所以负数a存在，它的取值范围为：a≤-

1

2

e-

3

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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