已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）当x∈[1，e]时-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（其中e..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知定义在正实数集上的函数f(x)=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，2(f(x)-2ex)+

a

6e2

(2g(x)+e2)≤(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：青岛二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导数可得：f'（x）=x+2e，g′(x)=

3e2

x

…（2分）
设函数f(x)=

1

2

x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的图象有公共点为（x₀，y₀）
由题意得

1

2

x02+2ex0=3e2lnx0+b

x0+2e=

3e2

x0

x0＞0

…（4分）
解得：b=-

e2

2

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=3e2lnx-

e2

2

所以2(f(x)-2ex)+

a

6e2

(2g(x)+e2)=x2+alnx，即a（x-lnx）≥x²-2x…（1）
当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0
所以由（1）式可得a≥

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上恒成立 …（9分）
设F(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，则F′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

…（11分）
显然有x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0
所以F'（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴F（x）在[1，e]上为增函数 …（12分）
故F(x)max=F(e)=

e2-2e

e-1

所以实数a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞)．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（其中e..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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