已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线27x+y-8=0平行，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜169恒成立，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线27x+y-8=0平行，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：陕西一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-

2

3

)(x-2)．
∴f′（1）=-a=-27，得a=27
∴f（x）=27x（x-2）²（x∈R）（2分）
令fn（x）=0得(x-

2

3

)(x-2)=0，
∴x=

2

3

或x=2．
又函数f（x）在(-∞，

2

3

)上为增函数，
在(

2

3

，2)上为减函数，
在（2，+∞）上为增函数．（4分）
∴f（x）在x=

2

3

时取得极大值，f(

2

3

)=32．
在x=2时取得极小值f（2）=0；（6分）
（Ⅱ）由f′(x)=3a(x-

2

3

)(x-2)，知
当a＞0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是增函数，
在[

2

3

，1]上是减函数．
此时，ymax=f(

2

3

)=

32

27

a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

，得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

．（9分）
当a＜0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是减函数，
在[

2

3

，1]上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，此时，y_max=f（-2）=-32a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴-32a＜

16

9

得a＞-

1

18

，∴-

1

18

＜a＜0．
故所求实数的取值范围是(-

1

18

，0)∪(0，

3

2

)．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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