已知函数：f（x）=x+1-aa-x（a∈R且x≠a）．（1）证明：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；（2）当f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；（3）若a＞12，函数g（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数：f（x）=x+1-aa-x（a∈R且x≠a）．（1）证明：f（x）+f（2a-x）+2=0对定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数：f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（1）证明：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）若a＞

1

2

，函数g（x）=x²+|（x-a） f（x）|，求g（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵f（x）=

x+1-a

a-x

=

1

a-x

-1，
∴f（2a-x）=

1

a-[2a-x]

-1=-

1

a-x

-1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=

1

a-x

+（-

1

a-x

）-2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）证明：∵f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]，
∴-1-a≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
又f（x）=

1

a-x

-1，
∴-3≤

1

a-x

-1≤-2，即f（x）的值域为[-3，-2]．
（3）函数g（x）=x²+|x+1-a|，（x≠a），
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x²+x+1-a=（x+

1

2

）²+

3

4

-a，
当a＞

1

2

时，a-1＞-

1

2

，函数在[a-1，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
②当x≤a-1时，g（x）=x²-x-1+a=（x-

1

2

）²+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

时，g（x）_min=g（

1

2

）=a-

5

4

，
如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

时，g（x）在（-∞，a-1）上为减函数，g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
当a＞

3

2

时，（a-1）²-（a-

5

4

）=（a-

3

2

）²＞0，
综合可得，当

1

2

＜a≤

3

2

时，g（x）的最小值是（a-1）²；
当a＞

3

2

时，g（x）的最小值是a-

5

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数：f（x）=x+1-aa-x（a∈R且x≠a）．（1）证明：f（x）+f（2a-x）+2=0对定..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：