设函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2(x∈R)．（I）求函数的单调区间；（II）求y=f（x）在[0，a]（a＞0）上的最小值；（III）当x∈（1，+∞）时，证明：?n∈N+，ex-1＞xnn!对任意n∈N+．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2(x∈R)．（I）求函数的单调区间；（II）求y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（I）求函数的单调区间；
（II）求y=f（x）在[0，a]（a＞0）上的最小值；
（III）当x∈（1，+∞）时，证明：?n∈N+，ex-1＞

xn

n!

对任意n∈N₊．

试题来源：宿州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1）…（2分）
令f′（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	减	极小	增	极大	减	极小	增

函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）…（5分）
（II）①当0＜a≤1时，f′（x）＜0，f（x）在[0，a]上递减，
∴fmin(x)=f(a)=a2(ea-1-1)-

a3

3

．
②当a＞1时，由（I）知∴fmin(x)=f(1)=-

1

3

∴f（x）在[0，a]上的最小值是
∴fmin(x)=

a2(ea-1-1)-

a3

3

，(0＜a≤1)

-

1

3

，(a＞1)

…（8分）
（III）设gn(x)=ex-1-

xn

n!

当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0
当x∈（1，+∞）时

g′1(x)=ex-1-1＞0，

所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上单调增函数
∴g₁（x）＞g（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x； …（10分）
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即

gk(x)=ex-1-

xk

k!

＞0，

当n=k+1时，
因为

g′k+1(x)=ex-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=ex-1-

ek

k!

＞0，

所以g'_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数
所以

gk+1(x)＞gk+1(1)=e0-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0

即当n=k+1时，不等式成立．
所以当x∈（1，+∞）时，?n∈N+，ex-1＞

xn

n!

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2(x∈R)．（I）求函数的单调区间；（II）求y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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