已知函数f(x)=lnx-12ax2(a∈R，a≠0)．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）已知点A(1，-12a)，设B(x1，y1)(x1＞1)是曲线C：y=f(x)图角上的点，曲线C上是否存在点M（x0，y0）满足：①x0=1+x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx-12ax2(a∈R，a≠0)．（I）求函数f（x）的单调区间；（I..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2(a∈R，a≠0)．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）已知点A(1，-

1

2

a)，设B(x1，y1)(x1＞1)是曲线C：y=f(x)图角上的点，曲线C上是否存在点M（x₀，y₀）满足：①x0=

1+x1

2

；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax=

1-ax2

x

，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，由f′（x）＞0和x＞0得0＜x＜

a

f（x）在（0，

a

）内单调递增，
由f′（x）＜0和x＞0得x＞

a

，f（x）在（

a

，+∞）内单调递减，
综上所述：当a＞0时，f（x）的单调增区间是（0，

a

），单调递减区间是（

a

，+∞）；
（II）假设存在满足条件的点M，
∵A在曲线C上，∴K_AB=

y1+

1

2

a

x1-1

=

lnx1-

1

2

ax

21

+

1

2

a

x1-1

，
f′（x）=

1

x

-ax，
∴f′（x₀）=f′（

x1+1

2

）=

2

x1+1

-a?

x1+1

2

，由已知K_AB=f′（x₀），
∴

lnx1-

1

2

ax

21

+

1

2

a

x1-a

=

2

x1+1

-a?

x1+1

2

，
化简整理可得lnx₁=

2(x1-1)

x1+1

=2-

4

x1+1

，
即lnx₁+

4

x1+1

＞2
∴lnx₁+

4

x1+1

＞2
∴lnx₁=2-

4

x1+1

不成立，即满足条件的点M是不存在的；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-12ax2(a∈R，a≠0)．（I）求函数f（x）的单调区间；（I..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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