已知曲线f（x）=x（a+b?lnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线2x+3y=0垂直．求（Ⅰ）常数a，b的值；（Ⅱ）f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线f（x）=x（a+b?lnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知曲线f（x）=x（a+b?lnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线2x+3y=0垂直．
求（Ⅰ）常数a，b的值；（Ⅱ）f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解　（Ⅰ）据题意f（1）=3，所以a=3（1）
f′(x)=(a+blnx)+x?b?

1

x

=a+b+blnx，
又曲线在点P处的切线的斜率为

3

2

，
∴f'（1）=3，即a+b=

3

2

（2）
由（1）（2）解得a=3 ，b=-

3

2

．
（Ⅱ）f′(x)=

3

2

-

3

2

lnx=

3

2

(1-lnx)．
∴当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0．
∴f（x）的单调区间为（0，e），（e，+∞），在区间（0，e）上是增函数，在区间（e，+∞）上是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线f（x）=x（a+b?lnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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