已知函数f（x）=kx，g(x)=lnxx（1）求函数g(x)=lnxx的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：ln224+ln334+…+lnnn4＜12e．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=kx，g(x)=lnxx（1）求函数g(x)=lnxx的单调递增区间；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=kx，g(x)=

lnx

x

（1）求函数g(x)=

lnx

x

的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵g(x)=

lnx

x

（x＞0），∴g′(x)=

1-lnx

x2

，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，
故函数g(x)=

lnx

x

的单调递增区间为（0，e）．
（2）由kx≥

lnx

x

，得k≥

lnx

x2

，令h(x)=

lnx

x2

，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．
又h′(x)=

1-2lnx

x3

，令h′(x)=0时，x=

e

．
当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：

x

（0，

e

）

e

（

e

，+∞）

h'（x）

+

0

-

h（x）

↗

1

2e

↘

由表知当x=

e

时，函数h（x）有最大值，且最大值为

1

2e

，因此k≥

1

2e

．
（3）由

lnx

x2

≤

1

2e

，∴

lnx

x4

＜

1

2e

?

1

x2

（x≥2），
∴

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

x4

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)．
又∵

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=
1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

x4

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=kx，g(x)=lnxx（1）求函数g(x)=lnxx的单调递增区间；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：