已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．记集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}（1）已知A≠?，若f（x）是在R上单调递增函数，是否有-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．记集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}
（1）已知A≠?，若f（x）是在R上单调递增函数，是否有A=B？若是，请证明．
（2）记|M|表示集合M中元素的个数，问：（i）若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若|A|=0，则|B|是否等于0？若是，请证明，（ii）若|B|=1，试问：|A|是否一定等于1？若是，请证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：有A=B．先证
任取x₀∈A，则f（x₀）=x₀，f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
∴x₀∈B，∴A?B；
再证任取y₀∈B，f（f（y₀））=y₀，
若f（y₀）≠y₀，不妨设f（y₀）＞y₀，
由单调递增可知：f（f（y₀））＞f（y₀）＞y₀，与f（f（y₀））=y₀矛盾，
同理f（y₀）＜y₀也矛盾，所以f（y₀）=y₀，∴B?A，
综上，A=B．
（2）（i）若|A|=0，则|B|=0，下面证明：
若a＞0，由于f（x）=x无实根，则对任意实数x，f（x）＞x，从而f（f（x））＞f（x）＞x，
故f（f（x））=x无实根；
同理，若a＜0，对任意实数x，f（x）＜x，从而f（f（x））＜f（x）＜x，
故f（f（x））=x也无实根，
所以|B|=0．
（ii）若|B|=1，则|A|=1，下面证明：
存在性：不妨设x₀是B中唯一元素，则f（f（x₀））=x₀，
令f（x₀）=t，f（t）=x₀，那么f（f（t））=f（x₀），而f（x₀）=t，故f（f（t））=t，说明t也是f（f（x））的不动点，
由于f（f（x））只有唯一的不动点，故x₀=t，即f（t）=t，这说明t也是f（x）的不动点，从而存在性得证；
以下证明唯一性：若f（x）还有另外一个不动点m，即f（m）=m，m≠t，
则f（f（m））=f（m）=m，这说明f（f（x））还有另外一个稳定点m与题设矛盾．
故唯一性得证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”。

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