发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-10 07:30:00
| 试题原文 |
|
| 解：（1）当n＝1时，a1＝3； 当n≥2时，由a1＋  ＝n2＋2n， ①得  ＝（n-1）2＋2（n-1）， ②①-②得：  ＝2n＋1，所以an＝（2n＋1）·λn-1，（n≥2）， 因为a1＝3，所以an＝（2n＋1）·λn-1（n∈N*）。 （2）当λ＝4时，an＝（2n＋1）·4n-1， 若存在ar，as，at成等比数列， 则[（2r＋1）4r-1] [（2t＋1）·4t-1]＝（2s＋1）2·42s-2， 整理得（2r＋1）（2t＋1） 4r＋t -2s＝（2s＋1）2， 由奇偶性知r＋t -2s＝0， 所以（2r＋1）（2t＋1）＝（r＋t＋1）2， 即（r-t）2＝0， 这与r≠t矛盾， 故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列。 （3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋（2n＋1）λn-1， 当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n2＋2n； 当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋（2n＋1）λn-1， λSn＝  ，  ，要对任意n∈N*，都有（1-λ）Sn+λan≥2λn恒成立， ①当λ=1时，左=（1-λ）Sn+λan=an=2n+1≥2，结论显然成立； ②当λ≠1时， 左=（1-λ）Sn+λan=   ，因此，对任意n∈N*，都有  恒成立，当0＜λ＜1时，只要  对任意n∈N*恒成立，只要有  ，因此，当0＜λ＜1时，结论成立； 当λ≥2时，  显然不可能对任意n∈N*恒成立；当1＜λ＜2时，只要  对任意n∈N*恒成立，只要有  即可，解得1≤λ≤ ；因此当1＜λ≤  时，结论成立；综上可得，实数λ的取值范围为（0，  ]。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1＋＝n2＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*），（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。
＝n2＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*），