已知分别以d1，d2为公差的等差数列{an}，{bn}，满足a1=1，b2009=409．（Ⅰ）若d1=1，且存在正整数m，使得am2=bm+2009-2009，求d2的最小值；（Ⅱ）若ak=0，bk=1600且数列a1，a2，…ak-数学试题及答案

1、试题题目：已知分别以d1，d2为公差的等差数列{an}，{bn}，满足a1=1，b2009=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知分别以d₁，d₂为公差的等差数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=1，b₂₀₀₉=409．
（Ⅰ）若d₁=1，且存在正整数m，使得a_m²=b_m+2009-2009，求d₂的最小值；
（Ⅱ）若a_k=0，b_k=1600且数列a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉，的前项n和S_n满足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，求{a_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵a_m²=b_m+2009-2009，
∴[a₁+（m-1）d₁]²=b₂₀₀₉+md₂-2009，
即m²=409+md₂-2009，
∴d2=m+

1600

m

≥2

m?

1600

m

=80．
等号当且仅当m=

1600

m

，
即m=40时成立，
故m=40时，[d₂]_min=80．
（Ⅱ）∵a_k=0，b_k=1600，a₁=1，b₂₀₀₉=409
∴S₂₀₀₉=（a₁+a₂+…+a_k-1）+（b_k+b_k+1+…+b₂₀₀₉）
=

(a1+ak-1)k

2

+

(bk+b2009)(2009-k+1)

2

=

k

2

+

2009(2010-k)

2

，
∵S₂₀₀₉=2012S_k+9045
=2012

(a1+ak)k

2

+9045=2012

k

2

+9045
∴2012?

k

2

+9045=

k

2

+

2009(2010-k)

2

∴4020k=2009×2010-18090，
∴2k=2009-9，
∴k=1000
故得a₁₀₀₀=0，又a₁=1，∴d1=-

1

999

，
∴an=a1+(n-1)d2=

1000

999

-

1

999

n．
因此{a_n}的通项公式为an=

1000

999

-

1

999

n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知分别以d1，d2为公差的等差数列{an}，{bn}，满足a1=1，b2009=..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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