已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q-1）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（ x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，且对一切自然数n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，求

lim

n→∞

S2n+1

S2n

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．
∵

b3

b1

=q2，∴

f(q-1)

f(q+1)

=q2=

(q-2)2

q2

．
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b₁=f（q+1）=4，∴b_n=4?（-2）^n-1．
（Ⅱ）由题设知

c1

b1

=a2，∴c₁=a₂b₁=8．
当n≥2时，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an，
两式相减，得

cn

bn

=an+1-an=2．
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）．
∴S_2n+1=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+1=8+2（3+3²+…+3²ⁿ）=8+2×

32n+1-3

3 -1

=3²ⁿ⁺¹+5．
即S_2n=3²ⁿ⁺¹+5-2×3²ⁿ=3²ⁿ+5．
∴

lim

n→∞

S2n+1

S2n

=

lim

n→∞

32n+1+5

32n+5

=3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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