（理科做）已知圆O：x2+y2=4，点M（1，a）且a＞0．（I）若过点M有且只有一条直线l与圆O相切，求a的值及直线l的斜率，（II）若a=2，过点M的两条弦AC、BD互相垂直，记圆心O到弦AC、BD的距-数学试题及答案

1、试题题目：（理科做）已知圆O：x2+y2=4，点M（1，a）且a＞0．（I）若过点M有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-13 07:30:00

试题原文

（理科做）已知圆O：x²+y²=4，点M（1，a）且a＞0．
（I ）若过点M有且只有一条直线l与圆O相切，求a的值及直线l的斜率，
（II ）若a=

2

，过点M的两条弦AC、BD互相垂直，记圆心O到弦AC、BD的距离分别为d₁、d₂?
①证明d₁²+d₂²为定值；
②求|AC|+|BD|的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由条件知点M（1，a）在圆O上，
∴1+a²=4，
∴a=±

3

．
∵a＞0，
∴a=

3

时，点M为（1，

3

），k_OM=

3

，k切线=-

3

，
（Ⅱ）①设圆心O在AC上的射影为R，则d₁=|OR|，圆心O在BD上的射影为Q，d₂=|OQ|，又过点M的两条弦AC、BD互相垂直，
∴四边形OQMR为矩形，
∴d₁²+d₂²=OM²=(

2

)2+1²=3（定值）．
②当AC的斜率为0或不存在时，可求得|AC|+|BD|=2（

2

+

3

），
当AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为y-

2

=k（x-1），
直线BD的方程为y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦长公式l=2

r2-d2

，
可得：|AC|=2

3k2+2

2

k+2

k2+1

，
|BD|=2

2k2-2

2

k+3

k2+1

，
∵|AC|²+|BD|²=4（

3k2+2

2

k+2

k2+1

+

2k2-2

2

k+3

k2+1

）=20，
∴（|AC|+|BD|）²=|AC|²+|BD|²+2|AC|×|BD|≤2（|AC|²+|BD|²）=40，
故|AC|+|BD|≤2

10

．
即|AC|+|BD|的最大值为2

10

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理科做）已知圆O：x2+y2=4，点M（1，a）且a＞0．（I）若过点M有..”的主要目的是检查您对于考点“高中点与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点与圆的位置关系”。

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