已知函数f(x)=lg(x+ax+1-1)，其中a是大于零的常数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lg(x+ax+1-1)，其中a是大于零的常数．（1）求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lg(x+

a

x+1

-1)，其中a是大于零的常数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；
（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，
因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；
当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；
当0＜a＜1时，定义域为(-1，-

1-a

)∪(

1-a

，+∞)．
（2）令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，
当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2≥2

a

-2，
当且仅当x+1=

a

x+1

即x=

a

-1时等号成立．
故f（x）的最小值为lg(2

a

-2)．
（3）?x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，又x∈[0，+∞），
则a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lg(x+ax+1-1)，其中a是大于零的常数．（1）求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”。

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