已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF2-F1F2=0，若椭圆的离心率等于22（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）若△ABF-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF₂-F₁F₂=0，若椭圆的离心率等于

2

（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面积等于4

2

，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8

3

？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：湖南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

.

AF2

-

.

F1F2

=0知AF₂⊥F₁F₂
∵椭圆离心率等于

2

，所以c=

2

a，b²=

1

2

a²，故椭圆方程可以写成x²+2y²=a²，
设A（c，y_A），代入方程得y_A=

1

2

a，所以A（

2

a，

1

2

a），
故直线AB的斜率k=

2

，因此直线AB的方程为y=

2

x（4分）
（Ⅱ）连接AF₁、BF₁，由椭圆的对称性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，
所以

1

2

-2c-

1

2

a=4

2

，解得a2=16，b2=8故椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2

(2

2

)2+22

=4

3

假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8

3

，设点M到直线AB的距离为d，则应有

1

2

-4

3

?d=8

3

，所以d=4
设M所在直线方程为

2

x-2y±4

6

=0与椭圆方程联立消去x得方程4y²±8

6

y+32=0
即y²±2

6

y+8=0，∵△=（±2

6

）²-4×8＜0故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8

3

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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