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1、试题题目：C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-02 07:30:00

试题原文

C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

  试题来源：北京高考真题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：圆与圆的位置关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：不妨设C1，C2和C的半径分别为r1，r2，r（r1>r2）
（1）当C1和C2相离时，即|C1C2|>r1+r2，
（i）若C与C1，C2都外切，
则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，
∴|CC1|-|CC2|=r1-r2
若C与C1，C2都内切，
则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，
∴|CC2|-|CC1|=r1-r2；
∴||CC2|-|CC1||=r1-r2<|C1C2|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1-r2的双曲线；
（ii）若C与Cl内切，C2外切，
则|CC1|=r-r1，|CC2|=r2+r，
∴|CC2|-|CC1|=r1+r2；
若C与C1外切，C2内切，
则|CC1|=r+r1，|CC2|=r-r2，
∴|CC1|-|CC2|=r1+r2
∴||CC2|-|CC1||=r1+r2<|C1C2|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的双曲线；
（2）当C1和C2外切时，即|C1C2|=r1+r2，
（i）若C与C1，C2都外切，
则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，
∴|CC1|-|CC2|=r1-r2；
若C与C1，C2都内切，
则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，
∴|CC2|-|CC1|=r1-r2；
∴||CC2|-|CC1||=r1-r2<|C1C2|，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r-r2的双曲线；
（ii）若C与C1内切，C2外切，
则|CC1|=r-r1，|CC2|=r2+r（或|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r）（如图1，2），
∴|CC2|-|CC1|=r1+r2（或|CC2|+|CC1|=r1+r2）
若C与C1外切，C2内切，
则|CC1|=r+r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r+r1，|CC2|=r2-r），
∴|CC1|-|CC2|=r1+r2=|C1C2|（或|CC2|+|CC1|=r1+r2= |C1C2|），
∴C的圆心的轨迹是过C1，C2的直线（除直线与圆C1、C2的交点外）； 		 
（3）当C1和C2相交时，
即r1-r2<|C1C2|
（i）若C与C1，C2都外切，
则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，
∴|CC1|-|CC2|=r1-r2
若C与C1，C2都内切，
则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r1-r，|CC2|=r2-r）， ∴||CC2|-|CC1|| =r1-r2
∴||CC2|-|CC1|| =r1-r2<|C1C2|，
由双曲线的定义，C的圆心轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1-r2的双曲线（圆C1，C2的交点除外）；
（ii）若C与C1内切，C2外切（如图3），
则|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r，
∴|CC2|+|CC1|=r1+r2
若C与C1外切，C2内切，
则|CC1|=r+r1，|CC2|=r2-r，
∴|CC2|+|CC1|=r1+r2
∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|，由椭圆的定义，C的圆心的轨迹方程是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的椭圆（圆 C1、C2的交点除外）；
（4）当C1和C2内切时，
即|C1C2| =r1-r2，
（i）若C与C1，C2都外切，
则|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r，
∴|CC1|-|CC2|=r1-r2；
若C与C1，C2都内切，
则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r1-r，|CC2|=r-r2或|CC1|=r1-r，|CC2|=r2-r）（如图4， 5，6），
∴|CC2|-|CC1|=r1-r2（或|CC2|+|CC1|=r1-r2或|CC2|- |CC1|=r2-r1）
∴||CC2|-|CC1||=r1-r2=|C1C2|或|CC2|+|CC1|=r1-r2，
∴C的圆心的轨迹是过C1，C2的直线（除直线与圆C1 、C2的交点外）；
（ii）若C与C1内切，C2外切，
则|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r，
∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|，
∴C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的椭圆（两圆C1、C2的交点除外）；
（5）当C1和C2内含时，
即|C1C2|＜r1-r2，
（i）若C与C1，C2都内切（如图7），
则|CC1|=r1-r，|CC2|=r-r2，
∴|CC2|+|CC1|=r1-r2>|C1C2|，
∴C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1-r2的椭圆；
（ii）若C与C1内切，C2外切，
则|CC1|=r1- r，|CC2|=r2+r，
∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|，
∴C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1+r2的椭圆。
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆与圆的位置关系”。


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