已知函数f（x）=ax3-32x2+1(x∈R)，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3-32x2+1(x∈R)，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．

试题来源：咸阳三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x3-

3

2

x2+1，f(2)=3；
得到f′（x）=3x²-3x，
则f′（2）=6，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-3=6（x-2），即y=6x-9；
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

，
因a＞0，则0＜

1

a

．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如表：

X

（-∞，0）

0

(0，

1

a

)

1

a

(

1

a

，+∞)

F’（x）

+

0

-

0

+

f（x）

递增

极大值

递减

极小值

递增

又f（0）=1，f(

1

a

)=1-

1

2a2

，
若要f（x）有三个零点，只需f(

1

a

)=1-

1

2a2

＜0即可，
解得a2＜

1

2

，又a＞0．
因此0＜a＜

2

．
故所求a的取值范围为{a|0＜a＜

2

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3-32x2+1(x∈R)，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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