已知向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，-cosx），设函数f（x）=a?（a+b）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若函数g（x）=f（x）-k，x∈[0，π2]，其中k∈R，试讨论函数g（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，-cosx），设函数f（x）=a?（a+b）．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），设函数f（x）=

a

?（

a

+

b

）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）=

a

?（

a

+

b

）=（sinx，cosx）?（sinx+cosx，0）
=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．
所以函数的最小正周期为：π．
（2）因为函数 y=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ k∈Z，即 kπ-

3π

8

≤x≤

π

8

+kπ k∈Z，
所以函数的单调增区间为：[-

3

8

π+kπ，

π

8

+kπ] (k∈Z)．
（3）y=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
y=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[

3

2

，

1

2

+

2

]，
函数g（x）=f（x）-k=

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

-k，x∈[0，

π

2

]，其中k∈R，
当k＜

3

2

或k＞

1

2

+

2

时，零点为0个；
当k∈[

3

2

，

1

2

+

2

)时函数有两个零点，
当k=

1

2

+

2

时，函数有一个零点；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，-cosx），设函数f（x）=a?（a+b）．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：