已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=，且对于任意实数x，y，总有f（x）·f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立。（Ⅰ）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）定义数列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=，且对于任意实数x，y，总有f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=，且对于任意实数x，y，总有f（x）·f（y）= f（x+y）+f（x-y）成立。
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求证：数列{a_n}为等比数列。

试题来源：河北省会考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）令x=1，y=0，
得f（1）·f（0）=f（1）+f（1），
又f（1）=

，则f（0）=2，
令x=0，得f（0）·f（y）=f（y）+f（-y），
则f（y）=f（-y），又f（x）定义在R上，
故f（x）为偶函数；
（Ⅱ）a_n+1=2f（n+2）-f（n+1）
=2[f（n+1）·f（1）-f（n）]-f（n+1）
=4f（n+1）-2f（n），
而a_n=2f（n+1）-f（n），
故数列{a_n}是等比数列。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=，且对于任意实数x，y，总有f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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