已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．解答下列问题：(Ⅰ)求f(0)的-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)成立．
解答下列问题：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函数g(x)=2^x-1在[0，1]上是否同时满足①②③？
(Ⅲ)假定存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)∈[0，1]且f[f(x₀)]=x₀，求证：f(x₀)=x₀。

试题来源：专项题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)令x₁=x₂=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，
又x∈[0，1]时，f(0)≥0，
∴f(0)=0．
(Ⅱ)当x∈[0，1]时，2^x∈[1，2]，
∴2^x-1∈[0，1]，
∴满足条件①；
又g(1)=2¹-1=1，
∴满足条件②；
设x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则

，

，
∵x₁≥0，x₂≥0，
∴

，
∴g(x₁+x₂)≥g(x₁)+g(x₂)，
∴满足条件③，
∴同时满足①②③．
(Ⅲ)任给m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，
假设若x₀＜f(x₀)，则f(x₀)≤f[f(x₀)]=x₀矛盾；
同理若x₀＞f(x₀)，则f(x₀)≥f[f(x₀)]=x₀矛盾；
∴假设不成立，
∴f(x₀)=x₀。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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