已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，，(Ⅰ)用定义证明：f(x)在[-1，1]上是增函数；(Ⅱ)解不等式：；(Ⅲ)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，

，
(Ⅰ)用定义证明：f(x)在[-1，1]上是增函数；
(Ⅱ)解不等式：

；
(Ⅲ)若f(x)≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围。

试题来源：专项题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)证明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[-1，1]，
则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)

，
∵-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁+(-x₂)≠0，
由已知

，
又x₁-x₂＜0，
∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x)在[-1，1]上为增函数．
(Ⅱ)∵f(x)在[-1，1]上为增函数，
∴

，解得

；
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知f(x)在[-1，1]上为增函数，且f(1)=1，
故对x∈[-1，1]，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0，
记g(a)=t²-2at，对a∈[-1，1]，g(a)≥0，
只需g(a)在[-1，1]上的最小值大于等于0，g(-1)≥0，g(1)≥0，
解得，t≤-2或t=0或t≥2；
∴t的取值范围是：{t|t≤-2或t=0或t≥2}。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m，n∈[-1，1]，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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