设a＞0，f(x)=2xa+a2x是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，f(x)=2xa+a2x是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设a＞0，f(x)=

2x

a

+

a

2x

是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a＞0，f(x)=

2x

a

+

a

2x

是R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），即

2-x

a

+

a

2-x

=

2x

a

+

a

2x

，
∴

1

a?2x

+a?2^x=

2x

a

+

a

2x

，
2^x（a-

1

a

）+

1

2x

（a-

1

a

）=0，
∴（a-

1

a

）（2^x+

1

2x

）=0，∵2^x+

1

2x

＞0，a＞0，
∴a-

1

a

=0，解得a=1，或a=-1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知f(x)=2x+

1

2x

，
∴f′(x)=2xln2-

2xln2

22x

=2xln2(1-

1

22x

)=2xln2(

22x-1

22x

)
∵x＞0，
∴2^2x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，f(x)=2xa+a2x是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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