发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-11-20 07:30:00
试题原文 |
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证明:(必要性) 设是{an}公差为d1的等差数列,则 bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0 所以bn≤bn+1(n=1,2,3,)成立. 又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,) 所以数列{cn}为等差数列. (充分性) 设数列{cn}是公差为d2的等差数列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,) ∵cn=an+2an+1+3an+2① ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4② ①-②得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2 ∵cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2 ∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2③ 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2④ ④-③得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0⑤ ∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0, ∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,), 由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,) 则an-an+2=d3(常数). 由此cn=an+2an+1+3an+2=cn=4an+2an+1-3d3 从而cn+1=4an+1+2an+2-5d3, 两式相减得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3 因此an+1-an=
所以数列{an}公差等差数列. 综上所述::{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中充分条件与必要条件”。