已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（I）当a＞0时，求函数y=f（x）的极值；（II）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：-6＜a＜6；（III）对任意x0∈[0，1]，y=f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（I）当a＞0时，求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（I）当a＞0时，求函数y=f（x）的极值；
（II）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：-

6

＜a＜

6

；
（III）对任意x₀∈[0，1]，y=f（x）的图象在x=x₀处的切线的斜率为k，求证：1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f'（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2

3

a）由f'（x）=0得，x=0或x=

2a

3

而a＞0，列出下表

x

（-∞，0）

0

（0，

2a

3

）

2a

3

（

2a

3

，+∞）

f'（x）

-

0

+

0

-

f（x）

递减

极小值

递增

极大值

递减

所以，当x=0时，f（x）取得极小值，极小值等于b；
当x=

2a

3

，f（x）取得极大值，极大值等于

4a3

27

+b； …..（4分）
证明：（II）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），不妨设x₁＞x₂设x₁，x₂∈R则k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜2
即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+2＞0，对x₁∈R恒成立
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+2）＜0，对x₂∈R恒成立
即3x₂²-2ax₂+（8-a²）＞0对x₂∈R恒成立
∴4a²-12（8-a²）＜0
解得a²＜6?：-

6

＜a＜

6

；
（III）k=f'（x）=-3x²+2ax x∈（0，1），
∴对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x²+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立
等价于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x对任意的x∈（0，1）恒成立．
令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，
则

1

2

h（x）_max≤a≤

1

2

g（x）_min，x∈（0，1）

1

x

+3x≥2

3

，当且仅当x=

3

时“=”成立，∴g（x）_min=2

3

h（x）=3x-

1

x

在（0，1）上为增函数∴h（x）_max＜2
∴1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（I）当a＞0时，求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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