已知双曲线方程为2x2-y2=2．(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程．(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线方程为2x2-y2=2．(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知双曲线方程为2x²-y²=2 ．

(1) 过定点P(2 ，1) 作直线交双曲线于P₁，P₂两点，当点P(2 ，1) 是弦P₁P₂ 的中点时，求此直线方程．
(2) 过定点Q(1 ，1) 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于Q₁，Q₂两点，且Q 是弦Q₁Q₂的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与双曲线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：设y=kx-2k+1．
由

消y并化简，得（2-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-3=0．
设直线与双曲线的交点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
当2-k²≠0即k²≠2时，
有

又点P(2，1)是弦P₁P₂的中点，

，解得k=4．
当 k=4时
Δ=4k² (2k-1)²-4(2-k²) (-4k²+4k-3)=56×5>0,
当k²=2即

时，
与渐近线的斜率相等，
即

的直线l与双曲线不可能有两个交点，
综上所述，所求直线方程为y=4x-7．
(2)假设这样的直线l存在，设Q₁（x₁，y₁），Q2（x₂，y₂），
则有

∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
且

两式相减，得

∴2(x₁-x₂)(x₁+x₂)-(y₁-y₂) (y₁+y₂)=0,
∴2(x₁-x₂)-（y₁-y₂)=0.
若直线Q₁Q₂⊥QX，则线段Q₁Q₂的中点不可能是点Q(1，1)，
所以直线Q₁Q₂有斜率，于是

∴直线Q₁Q₂的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．
由

得2x²-（2x-1）²=2，即2x²-4x+3 =0，
∴Δ=16-24 <0．
这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线方程为2x2-y2=2．(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。

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