设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB．求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

设双曲线C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且

PA

=

5

12

PB

．求a的值．

试题来源：山东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与双曲线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2

a2

-y2=1

x+y=1.

有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0.

4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．
双曲线的离心率
e=

1+a2

a

=

1

a2

+1

．
∵0＜a＜

2

且a≠1，
∴e＞

6

2

且e≠

2

即离心率e的取值范围为(

6

2

，

2

)∪(

2

，+∞)．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

PA

=

5

12

PB

，
∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1)．
由此得x1=

5

12

x2．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

17

12

x2=-

2a2

1-a2

．
x₁?x₂=

5

12

x

22

=-

2a2

1-a2

．
消去x₂，得-

2a2

1-a2

=

289

60

由a＞0，所以a=

17

13

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。

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