已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F2（2，0），且b=3a．（1）求双曲线C的方程；（2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F2（2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F₂（2，0），且b=

3

a．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：长宁区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与双曲线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）c=2c²=a²+b²∴4=a²+3a²∴a²=1，b²=3，∴双曲线为x2-

y2

3

=1．
（2）l：m（x-2）+y=0由

y=-mx+2m

x2-

y2

3

=1

得（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0
由△＞0得4m⁴+（3-m²）（4m²+3）＞012m²+9-3m²＞0即m²+1＞0恒成立
又

x1+x2＞0

x1?x2＞0

4m2

m2-3

＞0

4m2+3

m2-3

＞0
∴m²＞3∴m∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2

2

=

2m2

m2-3

y1+y2

2

=-

2m3

m2-3

+2m=

-6m

m2-3

∴AB中点M(

2m2

m2-3

，-

6m

m2-3

)
∵3(

2m2

m2-3

-1)2-

36m2

(m2-3)2

=3×

(m2+3)2

(m2-3)2

-

36m2

(m2-3)2

=3?

m4+6m2+9-12m2

(m2-3)2

=3
∴M在曲线3（x-1）²-y²=3上．

（3）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设存在实数m，使∠AOB为锐角，则

OA

?

OB

＞0
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
因为y₁y₂=（-mx₁+2m）（-mx₂+2m）=m²x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²∴（1+m²）x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²＞0
∴（1+m²）（4m²+3）-8m⁴+4m²（m²-3）＞0即7m²+3-12m²＞0
∴m2＜

3

5

，与m²＞3矛盾
∴不存在

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F2（2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。

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