如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．
（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．

试题来源：海南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．
则

DA

=(1，0，0)，

CC′

=(0，0，1)．连接BD，B'D'．
在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．
设

DH

=(m，m，1)(m＞0)，由已知＜

DH

，

DA

＞=60°，
由

DA

?

DH

=|

DA

||

DH

|cos＜

DA

，

DH

＞
可得2m=

2m2+1

．解得m=

2

，所以

DH

=(

2

，

2

，1)．（4分）
（Ⅰ）因为cos＜

DH

，

CC′

＞=

2

×0+

2

×0+1×1

1×

2

=

2

，
所以＜

DH

，

CC′

＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是

DC

=(0，1，0)．
因为cos＜

DH

，

DC

＞=

2

×0+

2

×1+1×0

1×

2

=

1

2

，所以＜

DH

，

DC

＞=60°．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

魔方格

方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz．则

DA

=(1，0，0)，

CC′

=(0，0，1)，

BD′

=(-1，-1，1)．
设P（x，y，z）则

BP

=λ

BD′

，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）
∴

x=1-λ

y=1-λ

z=λ

，则

DP

=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜

DP

，

DA

＞=60°，
∴λ²-4λ+2=0，解得λ=2-

2

，∴

DP

=(

2

-1，

2

-1，2-

2

)（4分）
（Ⅰ）因为cos＜

DP

，

CC′

＞=

2-

2

2(

2

-1)

=

2

，
所以＜

DP

，

CC′

＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是

DC

=(0，1，0)．
因为cos＜

DP

，

DC

＞=

2

-1

2(

2

-1)

=

1

2

，所以＜

DP

，

DC

＞=60°．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：