设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M．（I）求点M的轨迹C的方程；（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证明：向量

HP

、

HQ

与

HF

的夹角相等．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）连接MF，依题意有|MF|=|MB|，
所以动点M的轨迹是以F（a，0）为焦点，直线l：x=-a为准线的抛物线，
所以C的方程为y²=4ax．（5分）
（II）设P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
依题意直线BF的斜率存在且不为0，设直线BF的方程为y=k（x-a）（k≠0），
将其与C的方程联立，消去y得k²x²-2a（k²+2）x+a²k²=0
故x₁x₂=a²．
记向量

HP

与

HF

的夹角为θ₁，

HQ

与

HF

的夹角为θ₂，其中0＜θ₁，θ₂＜π，
因为

HP

=(x1+a，y1)，

HF

=(2a，0)，
所以cosθ1=

HP

?

HF

|HP|

?

|HF|

=

2ax1+2a2

2a

(x1+a)2+

y

21

=

x1+a

x

21

+6ax1+a2

；
同理cosθ2=

x2+a

x

22

+6ax2+a2

=

a2

x1

+a

a4

x

21

+6

a3

x1

+a2

=

x1+a

x

21

+6ax1+a2

因为cosθ₁=cosθ₂，且0＜θ₁，θ₂＜π，
所以θ₁=θ₂，即

HP

、

HQ

与

HF

的夹角相等．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的定义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：