已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．（ⅰ）求证：直线AB-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．
（ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

试题来源：浙江模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）曲线C的方程x²=4y（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），A(x1，

x

21

4

)，B(x2，

x

22

4

)，
∵y=

x2

4

∴y′=

1

2

x过点A的抛物线切线方程为y-

x

21

4

=

1

2

x1(x-x1)，
∵切线过E点，∴-2-

x

21

4

=

1

2

x1(a-x1)，整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两根，∴x₁+x₂=2a，x₁?x₂=-8可得AB中点为(a，

a2+4

2

)
又kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x

21

4

-

x

22

4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

a

2

，
∴直线AB的方程为y-(

a2

2

+2)=

a

2

(x-a)即y=

a

2

x+2，∴AB过定点（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点N(a，

a2+4

2

)，直线AB的方程为y=

a

2

x+2
当a≠0时，则AB的中垂线方程为y-

a2+4

2

=-

2

a

(x-a)，
∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M(

a3+12a

4

，-2)∴|MN|2=(

a3+12a

4

-a)2+(-2-

a2+4

2

)2=

1

16

(a2+8)2(a2+4)
∵|AB|=

1+

a2

4

(x1+x2)2-4x1x2

=

(a2+4)(a2+8)

若△ABM为等边三角形，则|MN|=

3

2

|AB|，
∴

1

16

(a2+8)2(a2+4)=

3

4

(a2+4)(a2+8)，
解得a²=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），
当a=0时，经检验不存在满足条件的点E
综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的定义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：