设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an，5bn，5an+1成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn．-数学试题及答案

1、试题题目：设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an，5bn，5an+1成等比数列，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足5an，5bn，5an+1成等比数列，lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通项a_n、b_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵5^a_n，5^b_n，5^a_n+1成等比数列，
∴（5^a_n）²=5^b_n?5^a_n+1，即2b_n=a_n+a_n+1．①
又∵lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差数列，
∴2lga_n+1=lgb_n+lgb_n+1，即a_n+1²=b_n?b_n+1．②
由②及a_i＞0，b_j＞0（i、j∈N^*）可得
a_n+1=

bn?bn+1

．③
∴a_n=

bn-1bn

（n≥2）．④
将③④代入①可得2b_n=

bn-1?bn

+

bn?bn+1

（n≥2），
∴2

bn

=

bn-1

+

bn+1

（n≥2）．
∴数列{

bn

}为等差数列．
∵b₁=2，a₂=3，a₂²=b₁?b₂，∴b₂=

9

2

．
∴

bn

=

2

+（n-1）（

9

2

-

2

）
=

1

2

（n+1）（n=1也成立）．
∴b_n=

(n+1)2

2

．
∴a_n=

bn-1?bn

=

n2

2

?

(n+1)2

2

=

n(n+1)

2

（n≥2）．
又当n=1时，a₁=1也成立．
∴a_n=

n(n+1)

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an，5bn，5an+1成等比数列，..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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