已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(1x)=lgx（1）求f（x）的表达式；（2）设不等式f（x）≤lgt的解集为A，且A?（0，4]，求实数t的取值范围．（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lg

2x

ax+b

，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx
（1）求f（x）的表达式；
（2）设不等式f（x）≤lgt的解集为A，且A?（0，4]，求实数t的取值范围．
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为?，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵当x＞0时，f(x)-f(

1

x

)=lgx恒成立
∴lg

2x

ax+b

-lg

2

bx+a

=lgx，
即（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1，
∴f(x)=lg

2x

1+x

（4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即lg

2x

1+x

≤lgt?

(2-t)x-t

1+x

≤0且

2x

1+x

＞0（6分）
由于解集A?（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以A=(0，

t

2-t

]?(0，4]即

t

2-t

≤4?t≤

8

5

，（8分）
又因为0＜t＜2，所以实数t的取值范围是(0，

8

5

]（10分）
（3）由lg

2x

1+x

=lg(8x+m)?

2x

1+x

=8x+m

2x

1+x

＞0

?

8x2+(6+m)x+m=0

x＜-1或x＞0

（12分）
方程的解集为?，故有两种情况：
①方程8x²+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，两根均在[-1，0]内，g（x）=8x²+（6+m）x+m
则

△≥0

g(-1)≥0

g(0)≥0

-1≤

-6-m

16

≤0

?

m≤2或m≥18

-6≤m≤10

?0≤m≤2（17分）
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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