f（x）=lg1+2x+…+(n-1)x+nxan，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．-数学试题及答案

1、试题题目：f（x）=lg1+2x+…+(n-1)x+nxan，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

f（x）=lg

1+2x+…+(n-1)x+nxa

n

，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，
即a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，
∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]上都是增函数，
∴-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]在（-∞，1]上也是增函数，
从而它在x=1时取得最大值-(

1

n

+

2

n

+…

n-1

n

)=-

1

2

n(n-1)

n

=-

1

2

(n-1)．
所以a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，
∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]等价于a＞-

1

2

(n-1)，
故a的取值范围是{a|a＞-

1

2

(n-1)}．
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a₁+a₂+…+a_n²）²=（a₁²+a₂²+…a_n²）+2（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）
≤（a₁²+a₂²+…a_n²）+[（a₁²+a₂²）+…+（a₁²+a_n²）]+[（a₂²+a₃²）
+…+（a₂²+a_n²）]+…+[（a_n-2²+a_n-1²）+（a_n-2²+a_n²）]+（a_n-1²+a_n²）
=n（a₁²+a₂²+…+a_n²）．
于是（a₁+a₂+…+a_n）²≤n（a₁²+a₂²+…+a_n²）当a₁=a₂=…=a_n时成立．
利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2^x，
所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，
当0＜a＜1，x≠0时，因a²＜a，
所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，
即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“f（x）=lg1+2x+…+(n-1)x+nxan，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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